§2.5  高阶导数

我们知道，变速直线运动的速度是位置函数对时间的导数，即 或 。

而加速度  又是速度  对时间  的导数，即

 或

这种导( 函 )数的导数 或 叫做对的二阶导数，记作

   或  。

一、高阶导数的定义

相应地，把的导数 叫做函数的一阶导数。

类似地， 二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般地，阶导数的导数叫做  阶导数，分别记作

或     。

函数具有阶导数，称函数为阶可导的；如果函数在点处具有阶导数，那未在点处的某一邻域内必具有一切低于阶的导数。

二、几个基本的高阶导数公式

【公式1】

证明：记  

 ， ， … ，

一般地  

【特款】当  时，

【公式2】

证明： 记

一般地有

【特款】

证明：

利用上面得到的阶导数公式有

【公式3】

 证明：

， 一般地有：

【特款】当 ( 为正整数 ) 时， 有

【公式4】    (为实数 )

证明： 记

一般地， 有

这一公式的证明与中学的二项展开公式的证明完全类似，同学们可与之对应起来看。

证明：当时，(1)式显然成立。

假设当时，(1)式仍然成立，即：

于是有

三、求函数高阶导数举例

【例1】求函数  的 阶导数。

解：

当  时， 有

【例2】设， 求 。

解：利用莱布尼兹公式，有